Sistemas Dinámicos 2018

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Evaluaciones:

  1. Prueba I, 25%: 25 Abril 2018.
  2. Prueba II, 25%: 30 Mayo 2018.
  3. Prueba III, 25%: 4 Julio 2018.
  4. Trabajo investigación semestral, 25% (3 bitácoras + trabajo entrega final + exposiciones finales.)

Guías de Ejercicios:

Introducción a los Sistemas Dinámicos Diferenciables es una asignatura del Doctorado en Matemática (UV-PUCV-UTFSM) que introduce los conceptos básicos de Sistemas Dinámicos diferenciables, particularmente hiperbólicos. El curso comienza con una revisión de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, y las primeras nociones de dinámica asociadas a estos objetos formalizados en un segundo capítulo dedicado a formalizar nociones de dinámica topológica y presentar ejemplos en el contexto discreto. La segunda parte del curso, correspondiente al capítulo 3, esta dedicada a la teoría local de los sistemas dinámicos diferenciables, donde se muestran con detalles algunos teoremas que dan cuenta de la descripción local de la dinámica alrededor los puntos fijos y órbitas periódicas hiperbólicas, su persistencia y su abundancia. El último tercio del curso, capítulo 4, está dedicado al estudio de los conjuntos hiperbólicos, presentando distintos ejemplos y los principales resultados que dan cuenta de las propiedades dinámicas de dichos objetos matemáticos.

Contenidos:

Unidad 1: (Teoria cualitativa de las ecuaciones diferenciales)

  • Sistemas lineales. Clasificación.
  • Equilibrio, estabilidad y conjuntos limites. Teorema de Poincaré-Bendixson.
  • Conjugación y Equivalencia. Puntos fijos hiperbólicos. Teorema de Hartman-Grobman y Teorema de la Variedad Estable para flujos: Enunciado y Aplicaciones.
  • Transformación de retorno de Poincaré. Transformación de tiempo 1. Flujo de suspensión.

Unidad 2: (Nociones de dinámica topológica discreta)

  • Puntos periódicos, transitividad, minimalidad, conjuntos límites, mixing,  conjugación, conjunto no errante, recurrencia por cadenas.
  • Ejemplos importantes: Logística, shift, doubling map, rotaciones, sistemas lineales.
  • Bifurcaciones y transición hacia el caos en la familia logística.

Unidad 3: (Teoría Hiperbólica Local)

  • Puntos fijos hiperbólicos. Estabilidad estructural de aplicaciones lineales hiperbólicas. Teorema de Hartman-Grobman.
  • Teorema de la Variedad estable para un punto y conjuntos hiperbólicos.
  • Ejemplos: Herradura, Solenoide, difeomorfismos de Anosov.
  • Lema de la Inclinación y aplicaciones. Difeomorfismos de Morse-Smale.
  • Teorema de Kupka-Smale: Enunciado e ideas de la demostración.

Unidad 4: (Hiperbolicidad Uniforme)

  • Campo de conos y robustez de conjuntos hiperbólicos.
  • Expansividad, sombreamiento, estructura de producto local, estabilidad de difeomorfismos de Anosov. Axioma A. Propiedad de no-ciclo.
  • Existencia de foliaciones invariantes: Enunciado y ejemplos.
  • Teorema de Descomposición Espectral y Omega estabilidad: Enunciados y ejemplos.
  • Particiones de Markov. Codificación y dinámica simbolica.

Bibliografía Básica:

  1. Shub, Michael; Global stability of dynamical systems. With the collaboration of Albert Fathi and Rémi Langevin. Translated from the French by Joseph Christy. Springer-Verlag, New York, 1987.
  2. Sambarino, Martín; Hiperbolicidad y estabilidad.Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas, 2009. http://evm.ivic.gob.ve/LibroSambarino.pdf
  3. W. Hirsch, S. Smale and R. L. Devaney; Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos, Elsevier Academic Press (2004).
  4. Barreira, Luis; Valls, Claudia; Dynamical systems. An introduction. Universitext. Springer, London, 2013.
  5. Brin, Michael; Stuck, Garrett; Introduction to dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
  6. Robinson, Clark; Dynamical systems: Stability, symbolic dynamics, and chaos. Second edition. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1999.
  7. Wen, Lan; Differentiable Dynamical Systems: An Introduction to Structural Stability and Hyperbolicity, 2016, Vol. 173 of Graduate Studies in Mathematics,  AMS.

Bibliografía Complementaria:

  1. Palis, Jacob, Jr.; de Melo Welington. Geometric theory of dynamical systems. An introduction. Springer-Verlag, New York – Berlin, 1982.
  2. Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
  3. Perko, Lawrence; Differential equations and dynamical systems. Texts in Applied Mathematics, 7. Springer-Verlag, 2001.
  4. Sotomayor, Jorge; Lições de equações diferenciais ordinárias. (Portuguese) [Lessons on ordinary differential equations] ProjetoEuclides [Euclid Project], 11. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979.
  5. Dumortier, Freddy; Singularities of vector fields. Monografías de Matemática [MathematicalMonographs], 32. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1978. iv+191 pp.